¿Qué es una Ecuación?
Ecuaciones… ese concepto que casi todos asocian con los científicos, o al menos espero que con los matemáticos. Ha llegado el momento de enfrentarnos a este —no sabría si decir curioso, fascinante, complejo, entretenido, útil… probablemente todo eso a la vez —mundo de las ecuaciones.
Para empezar, considero indispensable entender qué es una ecuación, se trata pues de una expresión algebraica que incluye el símbolo de igualdad (=). Y esto no es un detalle menor: es justamente lo que nos permite representar relaciones entre distintos conjuntos de datos y, en el mejor de los casos, calcular aquello que no podemos conocer de forma directa.
Ahora bien, si queremos enfrentarnos a las ecuaciones con mayor claridad, necesitamos aprender a clasificarlas. En general, se pueden clasificar según dos criterios: el grado y el número de variables.
El número de variables se refiere, básicamente, a cuántas letras (o incógnitas) aparecen en la ecuación. Por ejemplo:
5x=7 → Ecuación de una variable (x).
3x-2y=5 → Ecuación de dos variables (x, y).
4xy+2yz=0 → Ecuación de tres variables (x, y, z).
El grado de una ecuación se refiere al exponente más grande que aparece en una variable, y nos indicará cómo podemos resolverla y la cantidad máxima de soluciones que podemos hallar.
Ejemplos.
5x-2=10 → Es una ecuación de 1er grado (recuerda que cuando el exponente no aparece de manera explícita es porque vale 1).
6x^2+7x-20=0 → Es una ecuación de 2do grado.
27x^3=1 → Es una ecuación de 3er grado.
Al combinar la información anterior tenemos entonces los siguientes ejemplos de ecuaciones.
x+3=6 → Es una ecuación de primer grado de una variable.
2x^2-3xy+3x-2y+1=0 → Es una ecuación de segundo grado de dos variables.
Partes de una expresión algebraica
Ahora me gustaría aprovechar para recordarte cuáles son los elementos que conforman a una expresión algebraica, serán de suma importancia para que puedas entender las explicaciones de este curso.
- El signo. Todas las expresiones algebraicas son positivas (+) o negativas (–). Para identificarlas correctamente, debemos observar su signo, que por cierto, se escribe al inicio de cada término.
Existen dos reglas para escribir estos signos:
El signo negativo (–): Es obligatorio escribirlo, nunca se debe omitir.
El signo positivo (+): Es opcional únicamente en dos casos:
Cuando la expresión está al inicio de una operación, renglón o ecuación.
Cuando se encuentra inmediatamente después del símbolo de igualdad (=).
Ejemplo:
En la ecuación 4x-5=x+7, podemos identificar que:
El término 4x es positivo porque inicia la expresión y no tiene signo visible.
La x está después del signo igual (=), por lo tanto, es positiva.
El coeficiente: Es el número que multiplica a la variable. Si no hay un número visible antes de la letra, su valor es 1. Por ejemplo, las expresiones 1x y x son equivalentes, representan lo mismo.
La variable: Se refiere a la letra (o letras) que aparecen en la expresión. Representa un valor desconocido que, en el caso de las ecuaciones, podrá calcularse si estas tienen solución.
El exponente: Aunque los coeficientes pueden tener sus propios exponentes, cuando hablamos del “exponente de la expresión” nos referimos exclusivamente al que pertenece a la variable. Como hemos mencionado anteriormente, este número es el que determina el grado de la expresión algebraica.
Solución de una ecuación
Con lo anterior en mente, es momento de explicarte qué es una solución de una ecuación, o a qué nos referimos cuando decimos que resolveremos una ecuación.
La solución de una ecuación es un valor, que al sustituir a la variable, hace que la expresión sea verdadera, y se dice que ese valor satisface a la ecuación.
Por ejemplo, dada la ecuación x^2+5x=2x+54, una solución de la ecuación es x=6, porque al sustituirse x por 6 obtenemos el mismo resultado en ambas partes de la igualdad (lado derecho y lado izquierdo del símbolo =).
En cambio, si sustituimos x por 4 podremos observar que se obtiene una igualdad que es falsa 36=62, así que x=4 no es una solución de la ecuación.
No todas las ecuaciones tienen solución; sin embargo, cuando sí la tienen, su número total depende de dos factores: el grado de la ecuación y la cantidad de variables.
Para entenderlo mejor, considera estas reglas:
Ecuación de primer grado con una variable: Tiene como máximo una solución. (Ejemplo: x + 5 = 10).
Ecuación de segundo grado con una variable: Puede tener hasta dos soluciones. (Ejemplo: x^2 = 9).
Ecuaciones de dos variables: Estas ecuaciones poseen un conjunto infinito de soluciones. Debido a que son demasiadas para enlistarlas, la mejor forma de apreciarlas y entender su comportamiento es a través de una gráfica. Al representar todos esos pares de valores en un plano, se forman figuras geométricas como rectas, parábolas o círculos.
Tu ruta de exploración
Con los conceptos base claros, estamos listos para avanzar. En los próximos tres módulos, dominarás los métodos para resolver ecuaciones lineales, cuadráticas y sistemas de ecuaciones.
No solo aprenderás la resolución técnica, sino que profundizaremos en el modelado de situaciones reales, transformando problemas del entorno en lenguaje algebraico.
