En este tema aprenderás a sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas, así como a usar correctamente los signos de agrupación (paréntesis, corchetes y llaves) para simplificar expresiones complejas.
1.2.1 Uso de signos de agrupación en expresiones algebraicas
Los signos de agrupación (paréntesis, corchetes y llaves) indican qué operaciones deben resolverse primero. Cuando una expresión tiene varios signos de agrupación anidados, se resuelven de adentro hacia afuera: primero los paréntesis ( ), luego los corchetes [ ], y finalmente las llaves { }.
Cuando un signo de agrupación está precedido por un signo positivo, los términos dentro conservan su signo al eliminarlo: +(2x − 3) = 2x − 3. Cuando está precedido por un signo negativo, todos los términos dentro cambian de signo al eliminarlo: −(2x − 3) = −2x + 3.
Ejemplo con signos anidados: 5x − [3x − (2x − 4) + 1] = 5x − [3x − 2x + 4 + 1] = 5x − [x + 5] = 5x − x − 5 = 4x − 5.
1.2.2 Suma y resta de polinomios
Para sumar o restar polinomios se combinan los términos semejantes, igual que en el tema anterior. Se recomienda acomodar los polinomios uno debajo del otro, alineando los términos semejantes en columnas, o bien escribir todos los términos en una sola línea y reducir.
Ejemplo de suma:
\ \ (3x^2 + 2x – 5) + (x^2 – 4x + 7)
=\ \ (3x^2 + 2x – 5) + (x^2 – 4x + 7)
=\ \ 3x^2 + 2x – 5 + x^2 – 4x + 7 (Observa que los signos de los elementos del segundo paréntesis no cambiaron, esto pasa cuando multiplicamos por valores positivos)
= (3x^2 + x^2) + (2x – 4x) + (-5 + 7) (he vuelto a poner paréntesis solo para que observes la agrupación de términos semejantes, pero en realidad no son necesarios)
= 4x^2 – 2x + 2.
Para restar un polinomio de otro, se debe cambiar el signo de cada término del polinomio que se resta (el sustraendo) y después sumar como en el caso anterior. Ejemplo:
Ejemplo de resta:
\ \ (5x^2 – 3x + 4) – (2x^2 + x – 6)
=\ \ (5x^2 – 3x + 4) – (2x^2 + x – 6)
=\ \ 5x^2 – 3x + 4 – 2x^2 – x + 6 (Observa que los signos de los elementos dentro del segundo paréntesis cambian, esto sucede porque el signo menos multiplica a cada término)
= (5x^2 – 2x^2) + (-3x – x) + (4 + 6) (agrupamos los términos semejantes)
= 3x^2 – 4x + 10.
El error más común en la resta de polinomios es olvidar cambiar el signo de TODOS los términos del sustraendo, no solo del primero.
Ejercicios de práctica.
Utiliza los siguientes ejercicios para reforzar lo que has aprendido.
1.2.3 Multiplicación y división de expresiones algebraicas
Multiplicación de monomios: se multiplican los coeficientes entre sí y se suman los exponentes de las variables iguales (ley de exponentes: xᵃ · xᵇ = xᵃ⁺ᵇ).
Ejemplo: (3x²)(4x³) = (3·4)(x²⁺³) = 12x⁵.
Multiplicación de un monomio por un polinomio: se aplica la propiedad distributiva, multiplicando el monomio por cada término del polinomio.
Ejemplo:
3x(2x² − 5x + 4)
= 3x(2x²) − 3x(5x) + 3x(4)
= 6x³ − 15x² + 12x.
Multiplicación de dos binomios: se aplica la propiedad distributiva multiplicando cada término del primer binomio por cada término del segundo (este procedimiento se conoce popularmente como método FOIL: First, Outer, Inner, Last).
Practica con un STEPI.
Multiplica los binomios con el método FOIL y escribe el trinomio resultante:
Toca el botón de signo para cambiar entre + y −. Si un coeficiente es 1, puedes dejar su casilla vacía.
Procedimiento paso a paso:
Método FOIL: multiplica los First (primeros), los Outer (externos), los Inner (internos) y los Last (últimos), y suma los resultados.
1. F — Primeros: multiplica el primer término de cada binomio.
2. O — Externos: el primero del primer binomio por el segundo del segundo.
3. I — Internos: el segundo del primer binomio por el primero del segundo.
4. L — Últimos: multiplica el segundo término de cada binomio.
5. Suma los cuatro resultados:
6. Reduce los términos semejantes (O + I):
Recuerda: el término de en medio sale de sumar el externo y el interno, así que su signo depende de cuál de los dos pesa más.
División de monomios: se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de la misma variable (xᵃ ÷ xᵇ = xᵃ⁻ᵇ, si a > b).
Ejemplo: 12x⁵ ÷ 4x² = 3x³.
División de un polinomio entre un monomio: se divide cada término del polinomio entre el monomio por separado.
Ejemplo: (8x³ − 12x² + 4x) ÷ 4x = 2x² − 3x + 1.
Ejercicios de práctica.
Utiliza los siguientes ejercicios para reforzar lo que has aprendido sobre multiplicación y división de expresiones algebraicas.
Resumen del tema
- Para sumar o restar polinomios se combinan los términos semejantes; en la resta, se cambia el signo de todos los términos del sustraendo.
- Al multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes; al dividir, se restan.
- La multiplicación de binomios se resuelve aplicando la propiedad distributiva a cada par de términos (método FOIL).
- Los signos de agrupación anidados se resuelven de adentro hacia afuera, cuidando el cambio de signo cuando el signo exterior es negativo.
Glosario de términos clave
- Propiedad distributiva: a(b + c) = ab + ac; permite multiplicar un término por cada elemento de una suma o resta.
- Método FOIL: procedimiento para multiplicar dos binomios (First, Outer, Inner, Last).
- Signo de agrupación: símbolo (paréntesis, corchete o llave) que indica el orden en que deben resolverse las operaciones.