En este tema aprenderás a trabajar con potencias y raíces: las reglas (leyes de los exponentes) que simplifican cálculos con potencias, la notación científica para expresar números muy grandes o muy pequeños, y los conceptos básicos para simplificar y operar con radicales.
2.2.1 Leyes de los exponentes
Una potencia aⁿ está formada por una base (a) y un exponente (n), e indica que la base se multiplica por sí misma n veces: aⁿ = a × a × … × a (n veces). Por ejemplo, 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16.
-
- Exponente cero: a⁰ = 1, para cualquier a ≠ 0. Ejemplo: 7⁰ = 1.
- Exponente uno: a¹ = a, para cualquier a. Ejemplo: 3¹ = 3.
- Producto de potencias de igual base: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (se suman los exponentes). Ejemplo: 2³ × 2² = 2⁵ = 32.
- Cociente de potencias de igual base: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (se restan los exponentes). Ejemplo: 5⁶ ÷ 5² = 5⁴ = 625.
- Potencia de una potencia: (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ (se multiplican los exponentes). Ejemplo: (3²)³ = 3⁶ = 729.
- Potencia de un producto: (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ. Ejemplo: (2 × 5)³ = 2³ × 5³ = 8 × 125 = 1000.
- Potencia de un cociente: (a ÷ b)ⁿ = aⁿ ÷ bⁿ. Ejemplo: (6 ÷ 2)² = 6² ÷ 2² = 36 ÷ 4 = 9.
- Exponente negativo: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Ejemplo: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8.
Ejercicios
1. Multiplicación de Potencias de Igual Base
| N° | Ejercicio Propuesto | Espacio de Desarrollo / Respuesta |
|---|---|---|
| 1.1 | x^3 \cdot x^5 | x^{3+5} = x^8 (Ejemplo Resuelto) |
| 1.2 | a^7 \cdot a^4 | |
| 1.3 | y^2 \cdot y^6 \cdot y^3 | |
| 1.4 | 2^3 \cdot 2^4 | |
| 1.5 | (3x^4)(5x^2) | |
| 1.6 | (-2a^3)(4a^5) | |
| 1.7 | m^8 \cdot m^{-3} | |
| 1.8 | (a^2 b^3)(a^4 b^5) | |
| 1.9 | (2x^3 y)(3x y^4)(x^2 y^2) | |
| 1.10 | 5^x \cdot 5^{2x+1} |
2. División de Potencias de Igual Base
| N° | Ejercicio Propuesto | Espacio de Desarrollo / Respuesta |
|---|---|---|
| 2.1 | \dfrac{x^9}{x^4} | x^{9-4} = x^5 (Ejemplo Resuelto) |
| 2.2 | \dfrac{y^{12}}{y^5} | |
| 2.3 | \dfrac{a^{15}}{a^{14}} | |
| 2.4 | \dfrac{15x^7}{3x^2} | |
| 2.5 | \dfrac{-24m^8}{-6m^3} | |
| 2.6 | \dfrac{a^8 b^5}{a^3 b^2} | |
| 2.7 | \dfrac{18x^5 y^9}{12x^2 y^4} | |
| 2.8 | \dfrac{w^4}{w^9} | |
| 2.9 | \dfrac{10^{2n+3}}{10^{n+1}} | |
| 2.10 | \dfrac{a^m \cdot a^3}{a^{m-1}} |
3. Potencia de una Potencia
| N° | Ejercicio Propuesto | Espacio de Desarrollo / Respuesta |
|---|---|---|
| 3.1 | (x^4)^3 | x^{4 \cdot 3} = x^{12} (Ejemplo Resuelto) |
| 3.2 | (a^5)^2 | |
| 3.3 | (2^3)^3 | |
| 3.4 | (m^7)^4 | |
| 3.5 | (x^3)^2 \cdot x^5 | |
| 3.6 | \dfrac{(y^4)^5}{(y^2)^3} | |
| 3.7 | ((a^2)^3)^4 | |
| 3.8 | (2x^3)^4 | |
| 3.9 | (x^{n+1})^3 | |
| 3.10 | (a^{-2})^{-5} |
4. Exponente Cero y Exponente Negativo
| N° | Ejercicio Propuesto | Espacio de Desarrollo / Respuesta |
|---|---|---|
| 4.1 | x^{-3} | \dfrac{1}{x^3} (Ejemplo Resuelto) |
| 4.2 | 8^0 + (5x)^0 | |
| 4.3 | a^{-7} | |
| 4.4 | \dfrac{1}{y^{-5}} | |
| 4.5 | 3x^{-2} | |
| 4.6 | \dfrac{4a^{-3}}{b^{-2}} | |
| 4.7 | \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} | |
| 4.8 | \dfrac{x^5 \cdot x^{-8}}{x^{-2}} | |
| 4.9 | (2x^0 y^{-3})^2 | |
| 4.10 | \dfrac{(a^{-2} b^3)^{-1}}{a^4 b^{-2}} |
5. Potencia de un Producto y de un Cociente
| N° | Ejercicio Propuesto | Espacio de Desarrollo / Respuesta |
|---|---|---|
| 5.1 | \left(\dfrac{2x}{y^3}\right)^3 | \dfrac{2^3 x^3}{(y^3)^3} = \dfrac{8x^3}{y^9} (Ejemplo Resuelto) |
| 5.2 | (3ab)^3 | |
| 5.3 | \left(\dfrac{x^4}{y^2}\right)^5 | |
| 5.4 | (-2a^2 b^4)^4 | |
| 5.5 | \left(\dfrac{3m^3}{5n^2}\right)^2 | |
| 5.6 | \left(\dfrac{a^{-2}}{b^3}\right)^{-3} | |
| 5.7 | (4x^2 y^{-3})^2 | |
| 5.8 | \left(\dfrac{2a^3 b}{c^4}\right)^3 | |
| 5.9 | \left(\dfrac{-x^2 y^3}{2z^4}\right)^5 | |
| 5.10 | \left(\dfrac{a^2}{b}\right)^n \cdot \left(\dfrac{b^2}{a}\right)^n |
6. Exponente Fraccionario y Radicales
| N° | Ejercicio Propuesto | Espacio de Desarrollo / Respuesta |
|---|---|---|
| 6.1 | x^{\frac{3}{2}} | \sqrt{x^3} = x\sqrt{x} (Ejemplo Resuelto) |
| 6.2 | y^{\frac{1}{3}} | |
| 6.3 | 16^{\frac{1}{2}} | |
| 6.4 | 27^{\frac{2}{3}} | |
| 6.5 | a^{\frac{4}{5}} | |
| 6.6 | (81x^4)^{\frac{1}{4}} | |
| 6.7 | x^{-\frac{1}{2}} | |
| 6.8 | \left(\dfrac{8}{27}\right)^{\frac{2}{3}} | |
| 6.9 | \sqrt[3]{a^6 b^9} | |
| 6.10 | (32x^{10} y^{-5})^{\frac{1}{5}} |
7. Reto Integrador (Evaluación Combinada)
| N° | Expresión Algebraica Avanzada | Resultado Simplificado |
|---|---|---|
| 7.1 | \left[ \dfrac{(x^2 y^{-1})^3}{(x^{-1} y^2)^2} \right] | |
| 7.2 | \sqrt{25a^4 b^6} \cdot (a^{-1} b^2) | |
| 7.3 | \left( \dfrac{27x^6}{8y^3} \right)^{\frac{2}{3}} | |
| 7.4 | \dfrac{(a^3)^{-2} \cdot a^8}{a^0} | |
| 7.5 | \left( \dfrac{x^{-\frac{1}{2}} y^2}{x^{\frac{3}{2}} y^{-1}} \right)^2 | |
| 7.6 | \sqrt[3]{\dfrac{64 x^6 y^{-3}}{z^9}} | |
| 7.7 | \dfrac{(2a^2 b^{-3})^3 \cdot (a^{-1} b^2)^2}{(4a^{-2} b)^2} | |
| 7.8 | \left( \dfrac{a^{\frac{2}{3}} b^{-\frac{1}{2}}}{a^{-\frac{1}{3}} b^{\frac{3}{2}}} \right)^6 | |
| 7.9 | \sqrt{x \sqrt{x}} | |
| 7.10 | \left[ \left( \dfrac{x^2}{y^3} \right)^{-1} \cdot \left( \dfrac{y^2}{x} \right)^2 \right]^{-2} |
Soluciones
1. Respuestas: Multiplicación de Potencias de Igual Base
| N° | Ejercicio | Resultado Final |
|---|---|---|
| 1.1 | x^3 \cdot x^5 | x^8 |
| 1.2 | a^7 \cdot a^4 | a^{11} |
| 1.3 | y^2 \cdot y^6 \cdot y^3 | y^{11} |
| 1.4 | 2^3 \cdot 2^4 | 2^7 = 128 |
| 1.5 | (3x^4)(5x^2) | 15x^6 |
| 1.6 | (-2a^3)(4a^5) | -8a^8 |
| 1.7 | m^8 \cdot m^{-3} | m^5 |
| 1.8 | (a^2 b^3)(a^4 b^5) | a^6 b^8 |
| 1.9 | (2x^3 y)(3x y^4)(x^2 y^2) | 6x^6 y^7 |
| 1.10 | 5^x \cdot 5^{2x+1} | 5^{3x+1} |
2. Respuestas: División de Potencias de Igual Base
| N° | Ejercicio | Resultado Final |
|---|---|---|
| 2.1 | \dfrac{x^9}{x^4} | x^5 |
| 2.2 | \dfrac{y^{12}}{y^5} | y^7 |
| 2.3 | \dfrac{a^{15}}{a^{14}} | a |
| 2.4 | \dfrac{15x^7}{3x^2} | 5x^5 |
| 2.5 | \dfrac{-24m^8}{-6m^3} | 4m^5 |
| 2.6 | \dfrac{a^8 b^5}{a^3 b^2} | a^5 b^3 |
| 2.7 | \dfrac{18x^5 y^9}{12x^2 y^4} | \dfrac{3}{2}x^3 y^5 |
| 2.8 | \dfrac{w^4}{w^9} | \dfrac{1}{w^5} |
| 2.9 | \dfrac{10^{2n+3}}{10^{n+1}} | 10^{n+2} |
| 2.10 | \dfrac{a^m \cdot a^3}{a^{m-1}} | a^4 |
3. Respuestas: Potencia de una Potencia
| N° | Ejercicio | Resultado Final |
|---|---|---|
| 3.1 | (x^4)^3 | x^{12} |
| 3.2 | (a^5)^2 | a^{10} |
| 3.3 | (2^3)^3 | 2^9 = 512 |
| 3.4 | (m^7)^4 | m^{28} |
| 3.5 | (x^3)^2 \cdot x^5 | x^{11} |
| 3.6 | \dfrac{(y^4)^5}{(y^2)^3} | y^{14} |
| 3.7 | ((a^2)^3)^4 | a^{24} |
| 3.8 | (2x^3)^4 | 16x^{12} |
| 3.9 | (x^{n+1})^3 | x^{3n+3} |
| 3.10 | (a^{-2})^{-5} | a^{10} |
4. Respuestas: Exponente Cero y Exponente Negativo
| N° | Ejercicio | Resultado Final |
|---|---|---|
| 4.1 | x^{-3} | \dfrac{1}{x^3} |
| 4.2 | 8^0 + (5x)^0 | 2 |
| 4.3 | a^{-7} | \dfrac{1}{a^7} |
| 4.4 | \dfrac{1}{y^{-5}} | y^5 |
| 4.5 | 3x^{-2} | \dfrac{3}{x^2} |
| 4.6 | \dfrac{4a^{-3}}{b^{-2}} | \dfrac{4b^2}{a^3} |
| 4.7 | \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} | \dfrac{9}{4} |
| 4.8 | \dfrac{x^5 \cdot x^{-8}}{x^{-2}} | \dfrac{1}{x} |
| 4.9 | (2x^0 y^{-3})^2 | \dfrac{4}{y^6} |
| 4.10 | \dfrac{(a^{-2} b^3)^{-1}}{a^4 b^{-2}} | \dfrac{1}{a^2 b} |
5. Respuestas: Potencia de un Producto y de un Cociente
| N° | Ejercicio | Resultado Final |
|---|---|---|
| 5.1 | \left(\dfrac{2x}{y^3}\right)^3 | \dfrac{8x^3}{y^9} |
| 5.2 | (3ab)^3 | 27a^3 b^3 |
| 5.3 | \left(\dfrac{x^4}{y^2}\right)^5 | \dfrac{x^{20}}{y^{10}} |
| 5.4 | (-2a^2 b^4)^4 | 16a^8 b^{16} |
| 5.5 | \left(\dfrac{3m^3}{5n^2}\right)^2 | \dfrac{9m^6}{25n^4} |
| 5.6 | \left(\dfrac{a^{-2}}{b^3}\right)^{-3} | a^6 b^9 |
| 5.7 | (4x^2 y^{-3})^2 | \dfrac{16x^4}{y^6} |
| 5.8 | \left(\dfrac{2a^3 b}{c^4}\right)^3 | \dfrac{8a^9 b^3}{c^{12}} |
| 5.9 | \left(\dfrac{-x^2 y^3}{2z^4}\right)^5 | -\dfrac{x^{10} y^{15}}{32z^{20}} |
| 5.10 | \left(\dfrac{a^2}{b}\right)^n \cdot \left(\dfrac{b^2}{a}\right)^n | a^n b^n |
6. Respuestas: Exponente Fraccionario y Radicales
| N° | Ejercicio | Resultado Final |
|---|---|---|
| 6.1 | x^{\frac{3}{2}} | \sqrt{x^3} = x\sqrt{x} |
| 6.2 | y^{\frac{1}{3}} | \sqrt[3]{y} |
| 6.3 | 16^{\frac{1}{2}} | 4 |
| 6.4 | 27^{\frac{2}{3}} | 9 |
| 6.5 | a^{\frac{4}{5}} | \sqrt[5]{a^4} |
| 6.6 | (81x^4)^{\frac{1}{4}} | 3x |
| 6.7 | x^{-\frac{1}{2}} | \dfrac{1}{\sqrt{x}} |
| 6.8 | \left(\dfrac{8}{27}\right)^{\frac{2}{3}} | \dfrac{4}{9} |
| 6.9 | \sqrt[3]{a^6 b^9} | a^2 b^3 |
| 6.10 | (32x^{10} y^{-5})^{\frac{1}{5}} | \dfrac{2x^2}{y} |
7. Respuestas: Reto Integrador
| N° | Ejercicio Avanzado | Resultado Final |
|---|---|---|
| 7.1 | \left[ \dfrac{(x^2 y^{-1})^3}{(x^{-1} y^2)^2} \right] | \dfrac{x^8}{y^7} |
| 7.2 | \sqrt{25a^4 b^6} \cdot (a^{-1} b^2) | 5a b^5 |
| 7.3 | \left( \dfrac{27x^6}{8y^3} \right)^{\frac{2}{3}} | \dfrac{9x^4}{4y^2} |
| 7.4 | \dfrac{(a^3)^{-2} \cdot a^8}{a^0} | a^2 |
| 7.5 | \left( \dfrac{x^{-\frac{1}{2}} y^2}{x^{\frac{3}{2}} y^{-1}} \right)^2 | \dfrac{y^6}{x^4} |
| 7.6 | \sqrt[3]{\dfrac{64 x^6 y^{-3}}{z^9}} | \dfrac{4x^2}{y z^3} |
| 7.7 | \dfrac{(2a^2 b^{-3})^3 \cdot (a^{-1} b^2)^2}{(4a^{-2} b)^2} | \dfrac{a^8}{2b^7} |
| 7.8 | \left( \dfrac{a^{\frac{2}{3}} b^{-\frac{1}{2}}}{a^{-\frac{1}{3}} b^{\frac{3}{2}}} \right)^6 | \dfrac{a^6}{b^{12}} |
| 7.9 | \sqrt{x \sqrt{x}} | x^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{x^3} |
| 7.10 | \left[ \left( \dfrac{x^2}{y^3} \right)^{-1} \cdot \left( \dfrac{y^2}{x} \right)^2 \right]^{-2} | \dfrac{x^8}{y^{14}} |
Practica con STEPI
2.2.2 Notación científica
La notación científica es una forma de escribir números muy grandes o muy pequeños de manera compacta, usando potencias de 10. Un número en notación científica se escribe como a × 10ⁿ, donde 1 ≤ a < 10 y n es un número entero.
Números grandes
Para convertir un número grande a notación científica, se recorre el punto decimal hacia la izquierda hasta dejar un solo dígito distinto de cero antes del punto; el número de lugares recorridos es el exponente positivo de 10.
Números pequeños
Para convertir un número decimal muy pequeño, se recorre el punto decimal hacia la derecha hasta dejar un solo dígito distinto de cero antes del punto; el número de lugares recorridos es el exponente negativo de 10.
Practica con un STEPI
2.2.3 Operaciones con números en notación científica
1. Suma y Resta
-
Fórmula general:(a \times 10^n) \pm (b \times 10^n) = (a \pm b) \times 10^n
-
Ejemplo (Exponentes iguales):(4.2 \times 10^5) + (1.5 \times 10^5) = (4.2 + 1.5) \times 10^5 = 5.7 \times 10^5
-
Ejemplo (Exponentes diferentes):Para (3.1 \times 10^4) + (2.5 \times 10^3), convertimos 2.5 \times 10^3 a 0.25 \times 10^4:(3.1 \times 10^4) + (0.25 \times 10^4) = (3.1 + 0.25) \times 10^4 = 3.35 \times 10^4
2. Multiplicación
-
Fórmula general:(a \times 10^n) \times (b \times 10^m) = (a \times b) \times 10^{n+m}
-
Ejemplo 1:(3 \times 10^4) \times (2 \times 10^3) = (3 \times 2) \times 10^{4+3} = 6 \times 10^7
-
Ejemplo 2 (Ajuste de formato):(5 \times 10^6) \times (4 \times 10^3) = (5 \times 4) \times 10^{6+3} = 20 \times 10^9 = 2 \times 10^{10}
3. División
-
Fórmula general:\frac{a \times 10^n}{b \times 10^m} = \left(\frac{a}{b}\right) \times 10^{n-m}
-
Ejemplo 1:\frac{8 \times 10^6}{2 \times 10^2} = \left(\frac{8}{2}\right) \times 10^{6-2} = 4 \times 10^4
-
Ejemplo 2 (Con exponentes negativos):\frac{1.5 \times 10^3}{3 \times 10^5} = \left(\frac{1.5}{3}\right) \times 10^{3-5} = 0.5 \times 10^{-2} = 5 \times 10^{-3}
2.2.4 Radicales: simplificación y operaciones básicas
La raíz n-ésima de un número a, escrita como \sqrt[n]{a}, es el número que elevado a la potencia n da como resultado a. Cuando n = 2 se llama raíz cuadrada y no se escribe el índice: \sqrt{a}. Por ejemplo, \sqrt{25} = 5, porque 5^2 = 25; \sqrt[3]{27} = 3, porque 3^3 = 27.
Relación entre potencias y raíces
Toda raíz se puede escribir como una potencia con exponente fraccionario: \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}. Por ejemplo, \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} y \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}. Esta relación permite aplicar las leyes de los exponentes también a los radicales.
Simplificación de radicales
Para simplificar un radical, se busca descomponer el número en factores donde alguno sea una potencia exacta del índice de la raíz. Por ejemplo, para simplificar \sqrt{50}: 50 = 25 \times 2, y como 25 es un cuadrado perfecto, \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}.
Operaciones básicas con radicales
Solo se pueden sumar o restar directamente radicales semejantes (mismo índice y mismo radicando). Ejemplo: 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}. Para multiplicar radicales con el mismo índice, se multiplican los radicandos: \sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{15}.
Resumen del tema
- Las leyes de los exponentes permiten simplificar operaciones con potencias de la misma base.
- Todo número elevado a la 0 es 1; un exponente negativo indica el recíproco de la potencia positiva.
- La notación científica a × 10ⁿ (con 1 ≤ a < 10) sirve para expresar números muy grandes o muy pequeños.
- Toda raíz puede escribirse como una potencia con exponente fraccionario.
- Solo se suman o restan directamente los radicales semejantes; para simplificar, se buscan factores que sean potencias exactas.
Glosario de términos clave
- Base: número que se multiplica repetidamente en una potencia.
- Exponente: número que indica cuántas veces se multiplica la base.
- Notación científica: forma compacta de escribir un número como a × 10ⁿ.
- Radical: símbolo (√) que indica una raíz.
- Radicandos semejantes: radicales con el mismo índice y el mismo número dentro de la raíz.
Sección 1: Propiedades Directas de las Potencias
Calcula el valor exacto o simplifica aplicando las leyes de los exponentes (producto, cociente, potencia de potencia, exponente cero y exponente negativo):
1. 3^4 \times 3^2
2. 5^7 \div 5^3
3. (2^2)^3
4. (4 \times 3)^2
5. 6^0
6. 2^{-4}
7. 7^8 \times 7^{-6}
8. \frac{10^5}{10^2}
9. \left(\frac{2}{5}\right)^3
10. 5^{-1} + 2^{-1}
Sección 2: Notación Científica
Aplica las propiedades de las potencias de base 10 para realizar las siguientes conversiones e interpretar cantidades físicas:
A. Convierte de notación estándar a notación científica:
11. 6,300,000
12. 0.00045
13. 82,000,000,000
14. 0.000000091
B. Convierte de notación científica a notación decimal:
15. 7.2 \times 10^5
16. 3.1 \times 10^{-4}
17. 5.08 \times 10^7
18. 1.2 \times 10^{-6}
Sección 3: Operaciones con Notación Científica
Resuelve las siguientes operaciones manteniendo el resultado expresado en notación científica:
-
(2 \times 10^3) \times (4 \times 10^2)
-
(9 \times 10^6) \div (3 \times 10^2)
-
(3.5 \times 10^{-4}) \times (2 \times 10^8)
-
\frac{1.5 \times 10^3}{5 \times 10^7}
Sección 4: Radicales Exactos y Simplificación
Relaciona los radicales con exponentes fraccionarios (\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}) para calcular y simplificar:
A. Calcula el valor exacto de los siguientes radicales:
23. \sqrt{16}
24. \sqrt{81}
25. \sqrt[3]{8}
26. \sqrt[3]{64}
27. \sqrt[4]{81}
28. \sqrt[5]{32}
B. Simplifica extrayendo factores del radical (\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b}):
29. \sqrt{72}
30. \sqrt{98}
31. \sqrt{200}
32. \sqrt{50}
33. \sqrt{108}
Sección 5: Operaciones con Radicales
Efectúa las sumas, restas y multiplicaciones simplificando los resultados al máximo:
-
4\sqrt{3} + 2\sqrt{3}
-
7\sqrt{5} – 3\sqrt{5}
-
\sqrt{2} \times \sqrt{8}
-
5\sqrt{7} – 8\sqrt{7} + 2\sqrt{7}
-
\sqrt{3} \times \sqrt{12}
-
\sqrt{18} + \sqrt{50}
Sección 6: Problemas de Aplicación
Expresa las siguientes medidas en notación científica respetando sus unidades:
-
La distancia media de la Tierra al Sol es de aproximadamente 150,000,000\text{ km}. Exprésala en notación científica.
-
El tamaño aproximado de un glóbulo rojo humano es de 0.0000075\text{ m}. Exprésalo en notación científica.
-
La velocidad de la luz es de aproximadamente 300,000,000\text{ m/s}. Exprésala en notación científica.
Lista de Respuestas
Sección 1
3^6 = 729 5^4 = 625 2^6 = 64 12^2 = 144 1 \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} 7^2 = 49 10^3 = 1000 \frac{8}{125} \frac{1}{5} + \frac{1}{2} = \frac{7}{10}Sección 2
11. 6.3 \times 10^6
12. 4.5 \times 10^{-4}
13. 8.2 \times 10^{10}
14. 9.1 \times 10^{-8}
15. 720,000
16. 0.00031
17. 50,800,000
18. 0.0000012
Sección 3
19. 8 \times 10^5
20. 3 \times 10^4
21. 7 \times 10^4
22. 3 \times 10^{-5}
Sección 4
23. 4
24. 9
25. 2
26. 4
27. 3
28. 2
29. 6\sqrt{2}
30. 7\sqrt{2}
31. 10\sqrt{2}
32. 5\sqrt{2}
33. 6\sqrt{3}
Sección 5
34. 6\sqrt{3}
35. 4\sqrt{5}
36. \sqrt{16} = 4
37. -\sqrt{7}
38. \sqrt{36} = 6
39. 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}
Sección 6
40. 1.5 \times 10^8\text{ km}
41. 7.5 \times 10^{-6}\text{ m}
42. 3 \times 10^8\text{ m/s}