Los productos notables son multiplicaciones de binomios que siguen un patrón fijo, lo que permite obtener el resultado directamente, sin hacer la multiplicación término por término (yo siempre le digo a mis estudiantes: son fórmulas). Reconocerlos te puede ayudar a ahorrar tiempo al momento de hacer operaciones con expresiones algebraicas, y es indispensable para el tema que se le sigue: factorización.
1.3.1 Cuadrado de un binomio
El cuadrado de un binomio (suma o resta) sigue el patrón:
(a + b)² = a² + 2ab + b²,
(a − b)² = a² − 2ab + b².
En palabras: el cuadrado del primer término, más (o menos) el doble producto de ambos términos, más el cuadrado del segundo término.
Ejemplo con suma:
(x + 5)²
= x² + 2(x)(5) + 5²
= x² + 10x + 25.
Ejemplo con resta:
(2x − 3)²
= (2x)² − 2(2x)(3) + 3²
= 4x² − 12x + 9.
Un error muy común es olvidar el término de en medio (2ab) y escribir solo a² + b²; ese resultado es incorrecto, hay que verificar siempre los tres términos.
Practica con un STEPI.
Desarrolla el binomio al cuadrado y escribe el trinomio cuadrado perfecto:
Toca el botón de signo para cambiar entre + y −. Si un coeficiente es 1, puedes dejar su casilla vacía.
Procedimiento paso a paso:
Regla: el cuadrado de un binomio es el cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
1. Identifica los dos términos del binomio, con su signo:
2. Eleva al cuadrado el primer término (A²):
3. Calcula el doble producto (2AB):
4. Eleva al cuadrado el segundo término (B²):
5. Junta los tres términos:
Recuerda: el primer y el último término siempre son positivos (son cuadrados). El signo del término de en medio es el signo de A·B.
1.3.2 Cubo de un binomio
El cubo de un binomio sigue el patrón:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, y
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ (en la resta, los signos se alternan: +, −, +, −).
Son cuatro términos en total.
Ejemplo con suma:
(x + 2)³ = x³ + 3(x²)(2) + 3(x)(2²) + 2³
= x³ + 6x² + 12x + 8.
Ejemplo con resta:
(x − 1)³ = x³ − 3(x²)(1) + 3(x)(1²) − 1³
= x³ − 3x² + 3x − 1.
1.3.3 Binomios conjugados (diferencia de cuadrados)
Dos binomios son conjugados cuando tienen los mismos términos pero signos opuestos en medio, como (a + b) y (a − b). Al multiplicarlos, los términos cruzados se cancelan y el resultado es una diferencia de cuadrados: (a + b)(a − b) = a² − b².
Ejemplo: (x + 7)(x − 7) = x² − 7² = x² − 49.
Ejemplo con coeficientes: (3x + 4)(3x − 4) = (3x)² − 4² = 9x² − 16.
Este producto notable es muy útil porque su resultado siempre tiene solo dos términos (un binomio), sin el término de en medio.
Practica con un STEPI.
Multiplica los binomios conjugados y escribe la diferencia de cuadrados:
Toca el botón de signo para cambiar entre + y −. Si un coeficiente es 1, puedes dejar su casilla vacía.
Procedimiento paso a paso:
Regla: el producto de dos binomios conjugados (mismos términos, uno con + y otro con −) es el cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.
1. Identifica A (el término que se repite) y B (el que solo cambia de signo):
2. Eleva al cuadrado el primer término (A²):
3. Eleva al cuadrado el segundo término (B²):
4. Resta: A² − B²
Recuerda: no hay término de en medio, porque +AB y −AB se cancelan. El resultado siempre es una resta: el primer término es positivo y el segundo, negativo.
Resumen del tema
- (a + b)² = a² + 2ab + b² y (a − b)² = a² − 2ab + b² (cuadrado de un binomio: tres términos).
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (cubo de un binomio: cuatro términos, signos alternados si es resta).
- (a + b)(a − b) = a² − b² (binomios conjugados: diferencia de cuadrados, dos términos).
- Reconocer estos patrones evita hacer la multiplicación completa término por término.
Glosario de términos clave
- Producto notable: multiplicación de binomios que sigue un patrón fijo y predecible.
- Binomios conjugados: dos binomios con los mismos términos pero signo opuesto en medio.
- Diferencia de cuadrados: expresión de la forma a² − b², resultado de multiplicar binomios conjugados.