En este tema aprenderás las reglas que permiten resolver correctamente cualquier expresión aritmética que combine varias operaciones: las leyes de los signos, el uso de paréntesis y otros signos de agrupación, y la jerarquía (u orden) en que deben realizarse las operaciones. Dominar este tema es indispensable, porque un solo error de orden puede cambiar por completo el resultado de un problema.

2.1.1 Leyes de los signos

Suma de números con signo

Signos iguales

Para sumar dos números con el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se conserva el signo común. Ejemplos: 5 + 3 = 8; (−5) + (−3) = −8; (−12) + (−3) = −15.

Signos diferentes

Para sumar dos números con signos diferentes, se restan sus valores absolutos (el mayor menos el menor) y se conserva el signo del número con mayor valor absoluto. Ejemplos: 9 + (−4) = 5; (−15) + 6 = −9; (−7) + 10 = 3.

Resta de números con signo

Restar un número es lo mismo que sumar su opuesto: a − b = a + (−b). Ejemplos: 8 − 13 = 8 + (−13) = −5; (−6) − 9 = (−6) + (−9) = −15; 4 − (−7) = 4 + 7 = 11.

Nota importante — tabla de combinación de signos en una resta: más y más da más (a + (+b) = a + b); más y menos da menos (a + (−b) = a − b); menos y más da menos (a − (+b) = a − b); menos y menos da más (a − (−b) = a + b).

Multiplicación de números con signo

  • Positivo × positivo = positivo
  • Positivo × negativo = negativo
  • Negativo × positivo = negativo
  • Negativo × negativo = positivo

                En resumen: si los dos factores tienen el mismo signo, el resultado es positivo; si tienen signos diferentes, el resultado es negativo. Ejemplos: (−6) × 5 = −30; 7 × (−8) = −56; (−9) × (−4) = 36.

                División de números con signo

                La división sigue exactamente la misma regla que la multiplicación: mismo signo da positivo, signos diferentes dan negativo. Ejemplos: 36 ÷ (−4) = −9; (−45) ÷ (−9) = 5; (−28) ÷ 7 = −4.

                Multiplicaciones y divisiones con varios factores

                Cuando hay más de dos factores negativos en una multiplicación o división, se cuenta cuántos signos negativos hay: si el número de factores negativos es par, el resultado es positivo; si es impar, el resultado es negativo. Ejemplos: (−2) × (−3) × (−1) × 4 tiene tres factores negativos (impar), por lo que el resultado es negativo: −24. (−10) ÷ 2 ÷ (−5) tiene dos factores negativos (par), por lo que el resultado es positivo: 1.

                Errores comunes

                  • Pensar que “menos por menos da menos”: en realidad, menos por menos da más (positivo).

                  • Olvidar cambiar el signo al restar un número negativo: a − (−b) es igual a a + b, no a a − b.

                  • Confundir el signo del resultado en sumas con signos diferentes, olvidando comparar los valores absolutos.

                  2.1.2 Uso de paréntesis y signos de agrupación

                  Los signos de agrupación —paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }— se usan para indicar qué operaciones deben resolverse primero dentro de una expresión más grande. Cuando una expresión tiene varios signos de agrupación anidados unos dentro de otros, se resuelven siempre de adentro hacia afuera: primero el signo más interno (generalmente el paréntesis), después el corchete, y finalmente la llave.

                  Ejemplo: para resolver 2 × {3 + [4 × (5 − 2)]}, primero se resuelve el paréntesis: 5 − 2 = 3; después el corchete: 4 × 3 = 12; después la suma dentro de la llave: 3 + 12 = 15; y finalmente: 2 × 15 = 30.

                  Cuando un signo menos precede a un paréntesis, se debe cambiar el signo de cada término dentro del paréntesis al eliminarlo: −(4 − 9 + 2) = −4 + 9 − 2 = 3.

                  2.1.3 Resolución de expresiones con múltiples operaciones

                  Cuando una expresión combina varias operaciones (sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y raíces), debe resolverse siguiendo un orden estricto, conocido como jerarquía de operaciones:

                      1. Signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves), de adentro hacia afuera.

                  Y después, en el orden en que aparecen de izquierda a derecha.

                      2. Potencias y raíces.
                      3. Multiplicaciones y divisiones. 
                      4. Sumas y restas.

                  Ejemplo paso a paso: resolver 8 + 2 × (5 − 3)² ÷ 4.

                  Primero el paréntesis: (5 − 3) = 2.
                  Se obtiene: 8 + 2 × (2)² ÷ 4

                  Después la potencia: (2)² = 4.
                  Se obtiene: 8 + 2 × 4 ÷ 4

                  Después la multiplicación y la división de izquierda a derecha: 2 × 4 = 8,
                  Se obtiene: 8 + 8 ÷ 4

                  Luego 8 ÷ 4 = 2.
                  Se obtiene: 8 + 2
                  Finalmente la suma: 8 + 2 = 10.

                  Resumen del tema

                    • Para sumar signos iguales se suman los valores absolutos; para signos diferentes se restan y se usa el signo del mayor.

                    • Restar un número equivale a sumar su opuesto.

                    • En la multiplicación y división, signos iguales dan positivo y signos diferentes dan negativo.

                    • Con varios factores negativos: número par de negativos da positivo, número impar da negativo.

                    • Los signos de agrupación se resuelven de adentro hacia afuera.

                    • La jerarquía de operaciones es: agrupación, potencias y raíces, multiplicación y división, y por último suma y resta.

                  Glosario de términos clave

                    • Sumando: cada uno de los números que se suman.

                    • Minuendo y sustraendo: en una resta, el minuendo es del que se resta y el sustraendo es lo que se resta.

                    • Factor: cada uno de los números que se multiplican.

                    • Jerarquía de operaciones: orden establecido en que deben resolverse las operaciones de una expresión.

                    Ejercicios

                    Sección 1: Suma de Números Enteros

                    Calcula las siguientes sumas:

                    1. (-9) + (-6)
                    2. (-14) + (-8)
                    3. 15 + (-7)
                    4. (-18) + 9
                    5. (-25) + 30
                    6. 12 + (-20)
                    7. (-11) + (-13)
                    8. (-4) + 16 + (-7)

                    Calcula las siguientes restas:


                    9. 9 – 17
                    10. (-8) – 12
                    11. 6 – (-9)
                    12. (-10) – (-15)
                    13. (-3) – 14
                    14. 18 – (-5)
                    15. (-22) – (-8)
                    16. (-7) – (-7)

                    Resuelve los siguientes productos y cocientes:


                    17. (-8) \times 6
                    18. 9 \times (-7)
                    19. (-12) \times (-5)
                    20. (-15) \times (-4)
                    21. 48 \div (-6)
                    22. (-63) \div (-9)
                    23. (-80) \div 10
                    24. (-144) \div (-12)

                    Sin resolver la operación numérica completa, determina únicamente el signo del resultado (Positivo o Negativo):

                    25. (-3) \times (-5) \times (-2) \times (-4)
                    26. (-2) \times 6 \times (-1) \times (-3) \times 5
                    27. 4 \times (-7) \times (-2) \times (-1) \times (-5)
                    28. (-1)^9 (Un número negativo elevado a una potencia impar)

                    Resuelve respetando el orden correcto de las operaciones:

                    29. 6 + 4 \times (9 – 5)
                    30. (12 – 5)^2 \div 7 + 3
                    31. 3 \times \{8 + [2 \times (6 – 3)]\}
                    32. 20 – 2 \times (3 + 4)^2 \div 7
                    33. (-4) \times (5 – 8) + (-18) \div 3
                    34. \{15 – [3 + 2 \times (8 – 5)]\} \times (-2)

                    Identifica los errores o evalúa las afirmaciones:
                    35. Encuentra el error y corrígelo: (-4) – (-9) = -4 – 9 = -13
                    36. Encuentra el error y corrígelo: (-12) \div 3 = 4
                    37. Un estudiante afirma que “la suma de dos números enteros negativos siempre da como resultado un número positivo porque menos y menos es más”. ¿Es correcta esta afirmación? Justifica brevemente.
                    38. ¿El resultado de (-2)^4 es igual al de -2^4? Explica si existe diferencia entre ambas expresiones.

                    39. Submarino: Un submarino navega a -150\text{ m} de profundidad. Desciende 60\text{ m} más, luego asciende 90\text{ m} y finalmente vuelve a descender 30\text{ m}. ¿A qué profundidad se encuentra finalmente?

                    40. Temperatura: En una ciudad montañosa, la temperatura a las 6:00 a.m. era de -5^\circ\text{C}. A mediodía subió 12^\circ\text{C}, a las 6:00 p.m. bajó 7^\circ\text{C} y para la medianoche descendió otros 4^\circ\text{C}. ¿Cuál fue la temperatura final a la medianoche?

                    41. Cuenta bancaria: El saldo inicial de una cuenta es de \$250. Se realiza un retiro de \$400, luego un depósito de \$180 y finalmente se cobra una comisión de \$30. ¿Cuál es el saldo final de la cuenta?

                    42. Elevador: Un elevador se encuentra en el piso 4, baja 7 pisos, sube 10 pisos y finalmente baja 2 pisos. ¿En qué piso se detiene?

                    ✅ 0 | ❌ 0

                    Resuelve aplicando la jerarquía de operaciones:

                    Recuerda el orden: 1) Paréntesis y corchetes   2) Potencias y raíces   3) Multiplicación y división (izquierda a derecha)   4) Suma y resta (izquierda a derecha)

                    Expresión original:

                    Clave de Respuestas

                    1. -15
                    2. -22
                    3. 8
                    4. -9
                    5. 5
                    6. -8
                    7. -24
                    8. 5
                    9. -8
                    10. -20
                    11. 15
                    12. 5
                    13. -17
                    14. 23
                    15. -14
                    16. 0
                    17. -48
                    18. -63
                    19. 60
                    20. 60
                    21. -8
                    22. 7
                    23. -8
                    24. 12
                    25. Positivo (+)
                    26. Negativo (–)
                    27. Positivo (+)
                    28. Negativo (–)
                    29. 22
                    30. 10
                    31. 42
                    32. 6
                    33. 6
                    34. -12
                    35. Error en la resta de un negativo. Correcto: (-4) + 9 = 5.
                    36. Error en la ley de signos de la división. Correcto: -4.
                    37. Incorrecta. Al sumar dos negativos se suman sus valores absolutos y se mantiene el signo negativo (ejemplo: (-3) + (-2) = -5). La regla “menos por menos” aplica solo a multiplicación y división.
                    38. No son iguales. (-2)^4 = 16 (el exponente afecta al signo) y -2^4 = -16 (el exponente solo afecta a la base 2).
                    39. -150\text{ m} (o 150\text{ m} de profundidad).
                    40. -4^\circ\text{C}.
                    41. 0 (saldo en \$0).
                    42. Piso 5.

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