Factorizar es el proceso inverso a desarrollar (multiplicar): consiste en escribir una expresión algebraica como un producto de dos o más factores. Es una de las herramientas más importantes del álgebra, porque se usa para simplificar fracciones algebraicas y para resolver ecuaciones cuadráticas, como verás en la Unidad 2.
1.4.1 Factor común
El factor común es el elemento (numérico, literal o ambos) que se repite en todos los términos de una expresión. Para factorizarlo, se divide cada término entre el factor común y el resultado se escribe multiplicando el factor común por el paréntesis con los cocientes.
Ejemplo: en 6x³ + 9x² − 3x, el factor común es 3x (el mayor número que divide a 6, 9 y 3, y la menor potencia de x presente en todos los términos).
Factorizando: 6x³ + 9x² − 3x = 3x(2x² + 3x − 1).
Para comprobar que la factorización es correcta, se multiplica de nuevo el factor común por cada término del paréntesis y debe obtenerse la expresión original: 3x(2x²) + 3x(3x) + 3x(−1) = 6x³ + 9x² − 3x. ✓
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Factoriza la expresión sacando el factor común mayor:
El factor común se escribe positivo. Los exponentes de x van en la casilla pequeña (escribe 0 si no lleva x). Si un coeficiente es 1 y la parte con x existe, puedes dejar su casilla vacía.
Procedimiento paso a paso:
Factor común: es el MCD de los coeficientes, multiplicado por la menor potencia de x que aparece en todos los términos. Se saca fuera del paréntesis y dentro queda el resultado de dividir cada término entre él.
1. Busca el MCD de los coeficientes:
2. Busca la menor potencia de x:
3. El factor común es:
4. Divide cada término entre el factor común:
5. Escribe el factor común y, entre paréntesis, los resultados:
Para comprobar, distribuye el factor común sobre el paréntesis: debes recuperar la expresión original.
1.4.2 Diferencia de cuadrados
Una diferencia de cuadrados (a² − b²) se factoriza como el producto de dos binomios conjugados: a² − b² = (a + b)(a − b). Este es el proceso inverso del producto notable visto en el tema anterior. Para reconocerla, ambos términos deben ser cuadrados perfectos (tener raíz cuadrada exacta) y estar separados por un signo negativo.
Ejemplo: x² − 25 = (x)² − (5)² = (x + 5)(x − 5). Otro ejemplo: 9x² − 16y² = (3x)² − (4y)² = (3x + 4y)(3x − 4y).
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Factoriza la diferencia de cuadrados como un producto de binomios conjugados:
Escribe los dos binomios. Toca el botón de signo para cambiar entre + y −. Si un coeficiente es 1 y lleva letra, puedes dejar su casilla vacía.
Procedimiento paso a paso:
Regla: una diferencia de cuadrados se factoriza como el producto de dos binomios conjugados: uno con la suma y otro con la resta de las raíces cuadradas.
1. Saca la raíz cuadrada de cada término para encontrar A y B:
2. Escribe los binomios conjugados (A + B) y (A − B):
3. Comprueba multiplicando: los términos de en medio se cancelan.
Recuerda: solo una resta de cuadrados se factoriza así (la suma de cuadrados no). Los binomios pueden ir en cualquier orden.
1.4.3 Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es el resultado de elevar al cuadrado un binomio, y se reconoce porque el primer y el tercer término son cuadrados perfectos, y el término de en medio es el doble producto de sus raíces. Se factoriza como (a + b)² o (a − b)², según el signo del término de en medio: a² + 2ab + b² = (a + b)², y a² − 2ab + b² = (a − b)².
Ejemplo: x² + 6x + 9. Se verifica: raíz de x² es x, raíz de 9 es 3, y el doble producto 2(x)(3) = 6x coincide con el término de en medio. Por lo tanto: x² + 6x + 9 = (x + 3)². Otro ejemplo: 4x² − 20x + 25 = (2x)² − 2(2x)(5) + 5² = (2x − 5)².
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Factoriza el trinomio cuadrado perfecto como un binomio al cuadrado:
Escribe el binomio que, elevado al cuadrado, da el trinomio. Toca el botón de signo para cambiar entre + y −. Si un coeficiente es 1 y lleva letra, puedes dejar su casilla vacía.
Procedimiento paso a paso:
Regla: un trinomio es cuadrado perfecto cuando el primer y el último término son cuadrados y el de en medio es el doble producto de sus raíces (2AB). Entonces se factoriza como un binomio al cuadrado.
1. Saca la raíz cuadrada del primer y del último término para encontrar A y B:
2. Comprueba que el término de en medio es el doble producto 2AB:
3. Escribe el binomio y elévalo al cuadrado:
4. Comprueba desarrollando el binomio al cuadrado:
Recuerda: el signo del binomio es el signo del término de en medio (+ si es positivo, − si es negativo).
1.4.4 Trinomios cuadrados imperfectos
Un trinomio cuadrado imperfecto tiene la forma x² + bx + c (donde el coeficiente de x² es 1) y se factoriza buscando dos números que multiplicados den c y sumados den b: x² + bx + c = (x + m)(x + n), donde m·n = c y m + n = b.
Ejemplo: x² + 7x + 12. Se buscan dos números que multiplicados den 12 y sumados den 7: esos números son 3 y 4 (3×4=12, 3+4=7). Entonces: x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4). Ejemplo con signos: x² − 2x − 15. Se buscan dos números que multiplicados den −15 y sumados den −2: son −5 y 3 (−5×3=−15, −5+3=−2). Entonces: x² − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3).
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Factoriza el trinomio como un producto de dos binomios:
Busca dos números que, multiplicados, den el término sin letra y, sumados, den el coeficiente de x. Escríbelos en los binomios y toca el botón de signo para cambiar entre + y −.
Procedimiento paso a paso:
Regla: para factorizar x² + bx + c busca dos números m y n que, multiplicados, den c y, sumados, den b. Entonces el trinomio es (x + m)(x + n).
1. Identifica b (el número que acompaña a x) y c (el número sin letra):
2. Busca los pares de números cuyo producto sea c:
3. Los números son . Su producto es c y su suma es b:
4. Escribe los binomios y comprueba multiplicando:
Recuerda: los binomios pueden ir en cualquier orden, porque la multiplicación es conmutativa.
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Practica con un STEPI
Factoriza el trinomio como un producto de dos binomios:
Escribe el coeficiente de x y el número de cada binomio. Toca el botón de signo para cambiar entre + y −. Si el coeficiente de x es 1, puedes dejar esa casilla vacía.
Procedimiento paso a paso:
Método: para factorizar ax² + bx + c: (1) multiplica a por c; (2) busca dos números p y q que, multiplicados, den a·c y, sumados, den b; (3) descompón bx en px + qx; (4) agrupa en dos binomios y factoriza cada uno por factor común; (5) vuelve a factorizar por factor común.
1. Multiplica a por c:
2. Busca los números p y q:
Los números son :
3. Descompón el término de en medio: en lugar de , escribe :
4. Agrupa en dos binomios y factoriza cada uno por factor común:
Fíjate: los dos paréntesis quedan iguales. Esa es la señal de que vas bien.
5. Vuelve a factorizar: es el nuevo factor común:
Recuerda: los binomios pueden ir en cualquier orden, porque la multiplicación es conmutativa.
Resumen del tema
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- Factor común: se extrae el elemento que se repite en todos los términos, es el MCD de las expresiones algebraicas.
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- Diferencia de cuadrados: a² − b² = (a + b)(a − b).
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- Trinomio cuadrado perfecto: a² ± 2ab + b² = (a ± b)².
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- Trinomio cuadrado imperfecto: x² + bx + c = (x + m)(x + n), con m·n = c y m + n = b.
Glosario de términos clave
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- Factorizar: escribir una expresión como un producto de dos o más factores.
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- Cuadrado perfecto: número o término cuya raíz cuadrada es exacta.
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- Trinomio: expresión algebraica con tres términos.
- Diferencia: se refiere a la resta.