Vamos a finalizar este curso estudiando dos conceptos muy útiles: el Máximo Común Divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (mcm). Y para entenderlos bien, creo que es muy importante primero tener bien claro qué es un múltiplo y qué es un divisor, de que entiendas estas definiciones depende el que puedas saber cómo resolver los problemas que involucran al MCD o al mcm.
¿Qué son los múltiplos?
Un múltiplo es el resultado que se obtiene de multiplicar un número por otro número entero. Por ejemplo, los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36… es decir, los múltiplos de 6 son todos los números de la tabla del 6. Y esto aplica para todos los números, solo toma en cuenta que cuando nos referimos a los múltiplos de un número debemos tomar en cuenta en que son infinitos, ya que siempre puedes seguir multiplicando a cualquier número por otro más grande.
¿Qué son los divisores?
En cambio, un divisor es un número que divide exactamente a otro, es decir, sin dejar residuo. Por ejemplo, los divisores de 12 son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12, y nada más, estos son todos los divisores de 12, y aquí quiero resaltar en que estos son finitos, es decir, sí se acaban.
Con estos dos conceptos en mente ahora sí podemos continuar con aquellos que son el objeto principal de esta clase.
Máximo Común Divisor
El MCD es el número más grande que puede dividir exactamente a dos o más números.
Antes de explicar cómo se calcula el MCD veamos algunos ejemplos…
- El número más grande que divide a 20 y a 16 es el 4, es decir, el MCD de 20 y 16 es 4. También podemos abreviarlo como MCD (16, 20)= 4.
A continuación te presento los divisores de 16 y 20, por separado:de 16 son: 1, 2, 4, 8, y 16.
de 20 son: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.
En los ejemplos siguientes también te presentaré la lista de los divisores de cada pareja de números para que puedas notar cómo el MCD es, precisamente, el número más grande que tienen en común.
- El MCD de 16 y 24 es 8.
Los divisores de 16 son: 1, 2, 4, 8, y 16.
Los divisores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. - El MCD de 8 y 11 es 1.
Los divisores de 8 son: 1, 2, 4 y 8.
Los divisores de 11 son: 1 y 11. - Y por último, un ejemplo de tres números: el MCD de 15, 20 y 25 es el 5.
Los divisores de 15 son: 1, 3, 5 y 15.
Los divisores de 20 son: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.
Los divisores de 25 son: 1, 5 y 25.
Mínimo Común Múltiplo
El mcm es el número más pequeño que puede ser dividido por dos o más números de manera simultánea.
- Empecemos tomando como ejemplo al 12 y al 15, el número más pequeño que puede ser dividido por 12 y por 15 es el 60, es decir, el mcm de 12 y 15 es 60. También podemos abreviarlo como mcm (12, 15)= 60.
A veces es más fácil verlo desde otra perspectiva, por ello te voy a compartir la lista de los primeros múltiplos de 12 y 15, observa que el 60 es el primer número que aparece en ambas listas.
- múltiplos de 12 son: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, …
- múltiplos de 15 son: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, …
- Otro ejemplo sería el 120, que es el múltiplo más pequeño que tienen en común el 24 y el 30, es decir, el mcm de 24 y 30 es 120.
- múltiplos de 24 son: 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168…
- múltiplos de 30 son: 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210…
Creo que ahora sí estamos listos para aprender a calcular el MCD y el mcm. Pon atención al siguiente video y paúsalo tantas veces como sea necesario. Después te recomiendo que practiques con el Stepi que he creado para que puedas generar tantas parejas de números como necesites.
¡A practicar! Utiliza el siguiente Stepi y vuélvete un(a) experto(a) en el cálculo del MCD y el mcm.
Halla los valores para el par:
-- y --
Estrategias de diferenciación: MCD vs mcm
Dominar los procesos del cálculo de factores es solo la mitad del camino; la verdadera habilidad matemática reside en la identificación del problema. Para saber qué herramienta utilizar, puedes guiarte por la naturaleza de la situación o por la magnitud del resultado que buscas.
1. El criterio de la acción (¿Qué voy a hacer?)
Usa el Máximo Común Divisor (MCD): Cuando el problema te pida repartir, fragmentar o simplificar. Es la herramienta ideal para crear subconjuntos iguales o dividir objetos en trozos de la mayor longitud posible sin que sobre nada.
Usa el mínimo común múltiplo (mcm): Cuando el problema te pida coincidir, repetir o sincronizar. Se utiliza cuando eventos con distintos ritmos o medidas deben encontrarse en un mismo punto del futuro o del espacio.
2. El criterio de magnitud (¿Cómo será mi resultado?)
Si te cuesta identificar la acción, observa los números con los que estás trabajando y pregúntate por el tamaño de la respuesta:
| Herramienta | Pregunta Clave | Comportamiento del Resultado |
| MCD | ¿El número que busco es menor o igual a los originales? | División: El resultado “encoge” los valores para encontrar una base común. |
| mcm | ¿El número que busco es mayor o igual a los originales? | Acumulación: El resultado “crece” hasta encontrar un múltiplo donde todos caben. |
¿Por qué esto ayuda a tu cerebro?
Desde la perspectiva de la neurociencia educativa, el cerebro procesa mejor la información cuando puede categorizarla mediante patrones de contraste.
Al diferenciar entre “dividir” (MCD) y “coincidir” (mcm), estamos reduciendo nuestra carga cognitiva. En lugar de intentar memorizar fórmulas abstractas, nuestro cerebro activa el pensamiento asociativo, vinculando el problema con experiencias lógicas previas (como repartir dulces o ver cuándo coinciden las manecillas de un reloj). Esto facilita el paso de la memoria de corto plazo a la memoria semántica, logrando un aprendizaje mucho más profundo y duradero.
Ha llegado el momento de poner en práctica tus habilidades de análisis. A continuación, encontrarás una serie de situaciones diseñadas para entrenar tu capacidad de identificar y aplicar el concepto correcto.
Los ejercicios están organizados en tres categorías:
Enfoque en MCD: Situaciones de división y máxima eficiencia.
Enfoque en mcm: Situaciones de frecuencia y sincronización.
Desafíos Mixtos: Escenarios donde tú deberás decidir la mejor estrategia.
💡 Nota para tu aprendizaje: Al final de este documento encontrarás una sección de Retroalimentación. No la veas solo como una lista de respuestas correctas; utilízala para comparar tus procesos. Si un resultado no coincide, ¡felicidades!, has encontrado una oportunidad para fortalecer tus conexiones neuronales revisando el procedimiento.
¡Excelente trabajo!
Has finalizado con éxito “El ADN de los números”. Ahora que conoces las bases, es momento de fortalecerlas. Vuelve cuando quieras para repasar los conceptos clave y utiliza las Stepis para perfeccionar tus habilidades. ¡Cada repaso cuenta para dominar las matemáticas!