Una fracción algebraica es una expresión de la forma A/B, donde A y B son polinomios y B es distinto de cero. Se manejan con las mismas reglas que las fracciones numéricas del tema de Aritmética, pero factorizando los polinomios para poder simplificar y operar.

1.5.1 Simplificación de fracciones algebraicas

Para simplificar una fracción algebraica se factorizan tanto el numerador como el denominador, y se cancelan los factores que sean exactamente iguales en ambos. Es fundamental factorizar completamente antes de cancelar: nunca se pueden cancelar términos sueltos dentro de una suma o resta, solo factores completos de una multiplicación.

Ejemplo: simplificar (x² − 9)/(x² + 5x + 6). Se factoriza el numerador como diferencia de cuadrados: x² − 9 = (x + 3)(x − 3). Se factoriza el denominador como trinomio cuadrado imperfecto: x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3). La fracción queda: (x + 3)(x − 3) / (x + 2)(x + 3). Como (x + 3) aparece en ambos, se cancela: resultado = (x − 3)/(x + 2), válido siempre que x ≠ −2 y x ≠ −3 (valores que harían cero al denominador original).

Es importante siempre indicar las restricciones: los valores de la variable que no se pueden usar porque el denominador (original, antes de simplificar) se haría cero.

1.5.2 Operaciones con fracciones algebraicas

Multiplicación: se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí, factorizando primero para simplificar si es posible. Ejemplo: (x/3) · (6/x²) = 6x / 3x² = 2/x (simplificando el factor común 3x).

División: se multiplica la primera fracción por el recíproco (inverso) de la segunda. Ejemplo: (x/4) ÷ (x²/8) = (x/4) · (8/x²) = 8x / 4x² = 2/x.

Suma y resta con el mismo denominador: se suman o restan los numeradores y se conserva el denominador. Ejemplo: 3/(x+2) + 5/(x+2) = 8/(x+2).

Suma y resta con distinto denominador: se busca el mínimo común denominador (el producto de los factores distintos, tomando cada uno con su mayor exponente), se convierten las fracciones a ese denominador común, y luego se suman o restan los numeradores. Ejemplo: 1/x + 1/(x+1). El común denominador es x(x+1). Convirtiendo: (x+1)/[x(x+1)] + x/[x(x+1)] = (x + 1 + x)/[x(x+1)] = (2x + 1)/[x(x+1)].

📌 Sugerencia de imagen (generar con IA, por ejemplo Gemini): comparación visual lado a lado entre una fracción numérica (por ejemplo 6/9 simplificada a 2/3) y una fracción algebraica equivalente en estructura (por ejemplo (x²-9)/(x²+5x+6) simplificada), mostrando el paralelismo del proceso. Estilo educativo, colores planos, fondo blanco.

Resumen del tema

• Una fracción algebraica es un cociente de dos polinomios, con el denominador distinto de cero.
• Para simplificar, se factorizan numerador y denominador y se cancelan los factores comunes completos.
• Multiplicar y dividir fracciones algebraicas sigue las mismas reglas que las fracciones numéricas.
• Para sumar o restar con distinto denominador, se encuentra el mínimo común denominador factorizando cada expresión.

Glosario de términos clave

• Fracción algebraica: cociente A/B de dos polinomios, con B ≠ 0.
• Restricción: valor de la variable que no puede usarse porque hace cero al denominador.
• Mínimo común denominador (m.c.d.): el denominador común más simple entre varias fracciones, formado por los factores distintos con su mayor exponente.

Ejercicios

Practica lo aprendido resolviendo los siguientes ejercicios antes de continuar con la Unidad 2.

• Simplifica las siguientes fracciones algebraicas e indica las restricciones: (x² − 16)/(x + 4); (x² + 3x)/(x² − 9); (x² − 5x + 6)/(x² − 4).
• Multiplica: (x/5)·(10/x³); ((x+2)/3)·(6/(x+2)).
• Divide: (x²/6) ÷ (x/12); ((x+1)/4) ÷ ((x+1)²/8).
• Suma o resta: 2/(x+3) + 4/(x+3); 5/x − 3/(x+1); 1/(x−2) + 1/(x+2).
• Un rectángulo tiene área (x² − 4) y ancho (x − 2). Encuentra una expresión simplificada para el largo.